Sequência de números reais

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Em análise matemática, uma sequência de números reais é uma função real cujo domínio é o conjunto dos números naturais. O estudo destas sequências traz resultados importantes na análise matemática de funções reais. Livros de análise matemática de função reais de uma variável real, usualmente, tratam sobre sequências. [1][2] Ao decorrer deste artigo iremos nos referir a estas sequências somente usando o termo sequência.

Definição

Uma sequência de números reais é uma função real definida no conjunto dos números naturais . Notações usuais são: , , ou, ainda, por extenso . Ao escrever estamos denotando apenas o termo da sequência de índice , chamado de -ésimo termo da sequência .

Exemplos

a)

b)

c) Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1,~-1,~1,~\ldots,~(-1)^n,~\ldots)}

Subsequência

Diretamente relacionado a sequência temos o conceito de subsequência. Uma subsequência de Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_n)_{n\in\mathbb{N}}} é sua restrição a um subconjunto infinito Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{N}' \subset \mathbb{N}} . Denotamos tal subsequência por Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_{n_m})_{n_m\in\mathbb{N}'}} ou, simplesmente, Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_{n_m})} no caso do conjunto Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{N}'} estar subentendido. Note que toda subsequência Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_{n_m})_{n_m\in\mathbb{N}'}} de uma sequência Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_{n})_{n\in\mathbb{N}}} é uma sequência, já que está definida para Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m\in\mathbb{N}} , isto é, para cada Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m\in\mathbb{N}} , temos um Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_m\in\mathbb{N}'} .

Exemplo

Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\frac{1}{m}\right)_{m\in\mathbb{P}} = \left(\frac{1}{2},~\frac{1}{4},~\frac{1}{6},~\ldots,~\frac{1}{2n},~\ldots\right)} onde, aqui, Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{P}} denota o conjunto dos números naturais pares, é uma subsequência da sequência Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}} .

Classificação

Dizemos que uma sequência de números reais Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_n)} é limitada quando existe um intervalo Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b]\in\mathbb{R}} tal que Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_n\in [a,b]} para todo Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in\mathbb{N}} . Caso contrário, ela é dita ser ilimitada. Além disso, dizemos que uma sequência Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_n)} é limitada superiormente quando existe um número Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b\in\mathbb{R}} tal que Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_n\leq b} para todo Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in\mathbb{N}} . Analogamente, dizemos que uma sequência Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_n)} é limitada inferiormente quando existe Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\in\mathbb{R}} tal que Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_n\geq a~\forall n \in \mathbb{N}} . Equivalentemente, dizemos que uma sequência de números reais é limitada se, ela for limitada superiormente e inferiormente. Isto é, quando existe um número Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k > 0} tal que Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x_{n}|\leq k, \forall n \in \mathbb{N}.}

Exemplos

(a) Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\frac{1}{n}\right)_n} é uma sequência limitada, pois Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{n}\in [0,1]~\forall n\in\mathbb{N}} .

(b) Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2n-4)_n} é uma sequência ilimitada, mas limitada inferiormente. Com efeito, Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2n-4\in [-2,+\infty)~\forall n\in\mathbb{N}} .


Sequências de números reais também são classificadas conforme o comportamento de seus termos. Uma sequência Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_n)_n} é dita ser (monotonamente) não decrescente quando . Ela é dita ser (monotonamente) crescente quando . Analogamente, dizemos que é uma sequência (monotonamente) não crescente quando . E, dizemos que ela é (monotonamente) decrescente quando . Em qualquer um destes casos, dizemos que a sequência é monótona.

Exemplos

(a) é uma sequência limitada e decrescente.

(b) é uma sequência ilimitada e crescente.

(c) é uma sequência limitada não monótona.


Uma sequência também é classificada conforme a convergência de seus termos. Definimos a convergência de uma sequência ao tratar da definição de limite de uma sequência.

Limite de uma sequência

A noção de limite se refere à tendencia dos termos de um sequência dada quando tomamos índices grandes. Por exemplo, ao tomarmos índices grandes, vemos que os termos da sequência são números muito próximos de zero. Isto nos dá a noção de que esta sequência de números tende para o número zero quando fazemos tender para o infinito. Livros de Cálculo[3][4] costumam explorar a noção de limite de sequências de forma intuitiva. Aqui, apresentamos um abordagem mais formal, típica de textos de análise matemática.

Definição de limite de uma sequência

Diz-se que é o limite da sequência de números reais quando para todo número real , existe tal que se para todo índice , tem-se .

Convergência

Quando existe um número que é limite de uma sequência , dizemos que esta é uma sequência convergente. Neste caso, escrevemos

que lê-se L é o limite da sequência quando tende ao infinito. Escreve-se também, quando que lê-se tende a quando tende ao infinito. Ainda, é comum dizer simplesmente que o limite da sequência é , tomando-se por entendido que . Neste contexto, escreve-se

Caso não exista um tal com a propriedade mencionada acima, dizemos que a sequência é divergente. Isto é, é uma sequência divergente quando, para todo , existe um número real tal que para todo existe um índice tal que ou .

Exemplo

(a) é uma sequência convergente. Com efeito, tomando , vemos que para cada podemos escolher um tal que . Logo, para todo índice tem-se .

(b) é uma sequência divergente. Com efeito, seja e . Daí, temos que para todo temos, por exemplo, que todo índice ímpar implica ou . O raciocínio é análogo caso tentarmos . Se, tomarmos e , então para todo temos que os índices pares são tais que . Análogo para . Assim, temos demonstrado que a sequência dada diverge.

Observação

Toda sequência convergente é limitada. De fato, Se , então dado qualquer existe tal que . Isto significa que partir de um certo índice , a sequência é limitada inferiormente por e limitada superiormente por .

Agora, considerando , temos que

Deve-se ter cuidado, pois nem toda sequência limitada é também convergente. Por exemplo, a sequência é limitada, mas como visto no exemplo anterior, ela não é convergente.

Propriedades do limite

Limites de sequências têm uma série de propriedades. Aqui, enunciamos algumas das mais importantes (veja, por exemplo, os livros de análise matemática indicados nas referências deste artigo).

Unicidade

Se uma sequência tem um limite, ele é único.

Demonstração.

A prova deste enunciado pode ser feita por contradição. Com efeito, seja uma sequência de números reais. Suponhamos que sejam limites de , com . Tomemos e . Como é limite de , existe tal que , para todo . Analogamente, como é limite de , existe tal que , para todo . Logo, tomando temos que para todo . Mas, isso é um absurdo, pois . Logo, .


Observamos que se é o limite de uma sequência dada , então toda subsequência também converge para . De fato, como sabe-se que dado tal que . Basta tomar . Então sendo .

Exemplo

converge para zero, assim como a subsequência formada apenas pelos índices pares da sequência .

Convergência de sequências monótonas

Toda sequência limitada e monótona é convergente:

Considere uma sequência não crescente. Como é limitada, então ela é limitada superiormente por e existe um limite inferior para os termos . Seja , mostraremos que . Dado , note que não é o ínfimo do . Daí, temos que existe tal que . Assim, para todo temos que , pois é não crescente e, as desigualdades anteriores provam o resultado.

Propriedades Aritméticas

Se e é uma sequência limitada, então .

Demonstração.

Seja tal que para todo . Seja, também, . Como , existe tal que . Então: .

Sejam e sequências de números reais convergentes, então:

  1. se
Demonstração.

Sejam e .

  1. Seja . Existem tais que e . Tomando , temos que
  2. Basta notar que , sendo que estes dois termos são sequências convergentes (veja resultado anterior). Segue de 1. que
  3. Como , vemos que é limitada. Notemos, também, que e, por 2., sabemos que . Utilizando o resultado anterior, novamente, temos

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Toda sequência limitada possui uma subsequência convergente.

Considere uma sequência limitada de números reais. Se o conjunto dos termos da sequência for finito, existe pelo menos um termo que se repete indefinidamente. Isto é, podemos tomar de modo que e .

Suponha então que não é finito. Como é limitada, podemos supor que , com . Divida em dois intervalos de comprimento . Em, pelo menos, um destes subintervalos existem infinitos termos .

Seja o intervalo com esta propriedade. Divida em dois subintervalos de comprimento . Como antes, considere o intervalo que contém infinitos termos .

Continuando com este procedimento, teremos uma sequência de intervalos tais que:

1) .

2) O comprimento de cada é .

Usando o teorema dos intervalos encaixados (consultar referência[1] para prova), existe . Tome de modo que . Isso pode ser feito pois existem infinitos termos em cada .

Dado , considere tal que . Daí, .

Como o comprimento de é e , temos que .

Portanto, considerando , temos . Ou seja, .Como queríamos demonstrar.

Sequências de Cauchy

Uma sequência é dita de Cauchy quando, dado um , existir um tal que para todo com e , implicar que .

Toda sequência convergente é de Cauchy.

Como é uma sequência convergente, existe tal que . isto é, dado , existe tal que para , e .

Daí, , ou seja, é uma sequência de Cauchy.

Toda Sequência de Cauchy é convergente

Para mostrar este segundo resultado das sequências de Cauchy, é necessário apresentar dois lemas:

1) Toda sequência de Cauchy é limitada.

Como é de Cauchy, tome um fixo. Daí existirá tal que . Em particular, se considerarmos , teremos que , isto é, . Seja . Então, , ou seja, é limitada.

2) Se uma sequência de Cauchy possui uma subsequênciatal que , então , .

Sendo de Cauchy, dado , existe tal que . Como , existe tal que . Seja , tomando , temos:

.

Agora provaremos que toda sequência de Cauchy converge.

Seja uma sequência de Cauchy. Pelo lema 1) ela é limitada e, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, ela possui uma subsequência convergente. Portanto, segue do lema 2) que converge.

Ver também

Referências

  1. 1,0 1,1 Lima, Elon Lages (2013). Curso de Análise - Volume 1 14 ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 9788524401183 
  2. Ávila, Geraldo (1995). Introdução à Análise Matemática. [S.l.]: Edgard Blücher. ISBN 8521201680 
  3. Stewart, James (2013). Cálculo 5. ed. [S.l.]: Cengage Learning. ISBN 9788522112593 
  4. Anton, Howard (2007). Cálculo - um novo horizonte 8 ed. [S.l.]: Bookman. ISBN 9788560031801