Trapézio (geometria)

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Trapézio (geometria)
Arquivo:Trapézio retângulo.PNG
Trápezio retângulo
Arestas e Vértices 4
Área Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = \frac{(B + b)}{2} \cdot h}

Na geometria, o trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos entre si, que são chamados de base maior e base menor.

Definição

A definição mais aceita para um trapézio é a seguinte:

Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos.[1]

Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABCD\quad\text{é trapézio }\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left(\overline{AB}//\overline{CD}\quad\text{ou}\quad\overline{AD}//\overline{BC}\right) }

Alguns autores[2] definem um trapézio como sendo um quadrilátero que possui exatamente um par de lados paralelos, excluindo portanto os paralelogramos, porém essa definição não é a mais rigorosa existente, pois ela faria com que conceitos tais como o da aproximação trapezoidal para a integral definida fossem mal definidos. Para tanto, admite-se a definição vista acima.[3]

Propriedades dos trapézios

Os trapézios possuem as seguintes propriedades:[1]

  1. Em qualquer trapézio Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABCD} de bases Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AB}} e Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{CD}} temos que Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{A}+\hat{D}=\hat{B}+\hat{C}=180^\circ} .
  2. Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes.
  3. As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Demonstração das propriedades

1º Propriedade

Em qualquer trapézio Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABCD} de bases Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AB}} e Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{CD}} temos que Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{A}+\hat{D}=\hat{B}+\hat{C}=180^\circ}

Arquivo:Propriedadetrapezio1.svg
Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{A}+\hat{D}=\hat{B}+\hat{C}=180^\circ}

Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overleftrightarrow{AB}//{\overleftrightarrow{CD}}} , Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overleftrightarrow{AD}} é transversal Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Longrightarrow \hat{A}+\hat{D}= 180^\circ}

e

Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overleftrightarrow{AB}//{\overleftrightarrow{CD}}} , Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overleftrightarrow{BC}} é transversal Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Longrightarrow \hat{B}+\hat{C}= 180^\circ}

Logo temos que

Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{A}+\hat{D}=\hat{B}+\hat{C}=180^\circ}

Arquivo:Propriedadetrapezio2.svg
Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{D}\equiv\hat{C}\quad\text{e}\quad\hat{A}\equiv\hat{B}}

2° Propriedade

Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes

Para demonstrar essa propriedade vamos, primeiro, enunciá-la matematicamente.

Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AB}\quad\text{e}\quad\overline{CD}\quad\text{são bases do trapézio isósceles }ABCD\qquad\Longrightarrow\qquad(\hat{C}\equiv\hat{D}\quad\text{e}\quad\hat{A}\equiv{\hat{B}})}

Tomando dois pontos Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A'} e Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B'} , de modo que ambos estejam em Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{DC}} e que Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AA'}\perp\overline{DC}} e Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{BB'}\perp\overline{DC}} .

Como Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABCD} é um trapézio nós sabemos que Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AB}//\overline{CD}} , o que implica que Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AA'}\equiv\overline{BB'}} , por serem distâncias entre retas paralelas.

Se observarmos os triângulos Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AA'D} e Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle BB'C} , podemos ver que eles são congruentes:

Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AA'}\equiv\overline{BB'}\quad\text{e}\quad{\overline{AD}\equiv\overline{BC}}\quad(CH)\qquad\Longrightarrow\qquad{\triangle{AA'D}\equiv\triangle{BB'C}}}

Como os triângulos são congruentes, temos que Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{C}\equiv\hat{D}} .

Por fim, visto que Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{A}} e Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{B}} são suplementares de Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{D}} e Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{C}} , respectivamente (por conta da propriedade demonstrada anteriormente), temos: Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{A}\equiv\hat{B}} .

Logo os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes.

3º Propriedade

Arquivo:Propriedadetrapezio3.svg
Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AC}\equiv\overline{BD}}

As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Para demonstrar essa propriedade vamos, primeiramente, enunciá-la matematicamente.

Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABCD \quad\text{é um trapézio isósceles de base }\quad\overline{AB}\quad\text{e}\quad\overline{CD}, \quad{\overline{AD}\equiv\overline{BC}}\qquad\Longrightarrow\qquad{\overline{AC}\equiv\overline{BD}}}

Observe os triângulos Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ADC} e Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle BCD} , que são congruentes:

Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AD}\equiv\overline{BC}\quad\text{e}\quad{\hat{D}\equiv\hat{C}}\quad\text{e}\quad\overline{DC}=\overline{CD}\quad(LAL)\qquad\Longrightarrow\qquad\triangle{ADC}\equiv\triangle{BCD}}

Sabendo que os triângulos são congruentes temos: Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AC}\equiv\overline{BD}}

Logo as diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Cálculo da área

Arquivo:Trapezoid.svg
Um trapézio.

A área A de um trapézio simples (isto é, sem auto-interseções) é dada por[3]

Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = \frac{(B + b)}{2} \cdot h,}

em que B e b são os comprimentos dos lados paralelos (as bases maior e menor) e h é a altura (a distância entre esses lados). Em 499 EC Aryabhata, um grande matemático-astrônomo da era clássica da matemática e física indiana, usou este método no Ariabatiia (seção 2.8).[4] A fórmula anterior tem como caso particular a fórmula que fornece a área de um triângulo, considerando-se um triângulo como um trapézio degenerado em que um dos lados paralelos foi reduzido a um único ponto.

A mediana do trapézio é o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos. O seu comprimento m é igual à média dos comprimentos das bases do trapézio:

Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m = \frac{B + b}{2}.}

Consequentemente, a área do trapézio é calculada pela multiplicação de sua mediana por sua altura:

Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = mh.}

O lado de um trapézio retângulo pode ser calculado pela formula:

Falhou ao verificar gramática (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L = \sqrt{h^2 + (B - b)^2}.}

Referências

  1. 1,0 1,1 Dolce, Osvaldo (2013). Fundamentos de Matemática Elementar 9: Geometria plana. [S.l.]: Atual 
  2. «American School definition from "math.com"». Consultado em 14 de abril de 2008 
  3. 3,0 3,1 Weisstein, Eric W. «Trapezoid» (em inglês). MathWorld 
  4. Aryabhatiya Arquivado em 2011-08-15 no Archive.is em marata: आर्यभटीय, Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.66, ISBN 978-81-7434-480-9
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